进制运算初步

基本概念

• 基数：每一位允许使用的数字符号个数
  • 二进制（Binary）：基数 2，数字 0和1
  • 八进制（Octal）：基数 8，数字 0–7
  • 十六进制（Hexadecimal）：基数 16，数字 0–9, A–F （A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15）

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1. 十进制 → R 进制（R = 2、8、16）

方法：除 R 取余，倒序排列

步骤：

1. 用十进制数不断除以 R
2. 记录每次的余数（0 ~ R-1）
3. 直到商为 0 为止
4. 将余数 从下往上（最后得到的余数在最前面）写出

十六进制时，余数 10~15 要写成 A~F（偶尔也可以a～f）

示例 1：十进制 25 → 二进制（R=2）

 25 ÷ 2 = 12 余 1 ↑
 12 ÷ 2 = 6  余 0 |
 6  ÷ 2 = 3  余 0 |
 3  ÷ 2 = 1  余 1 |
 1  ÷ 2 = 0  余 1 |

结果：25₁₀ = 11001₂（余数倒序结果）

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示例 2：十进制 234 → 八进制（R=8）

 234 ÷ 8 = 29 余 2 ↑
 29  ÷ 8 = 3  余 5 |
 3   ÷ 8 = 0  余 3 |

结果：234₁₀ = 352₈

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示例 3：十进制 479 → 十六进制（R=16）

 479 ÷ 16 = 29 余 15 (F) ↑
 29  ÷ 16 = 1  余 13 (D) |
 1   ÷ 16 = 0  余 1      |

结果：479₁₀ = 1DF₁₆

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2. R 进制 → 十进制（R = 2、8、16）

方法：按权展开求和

公式：$\text{(数)}_R = \sum (\text{每一位数字} \times R^{\text{位数位置}})$

• 位数位置：从 右向左 从 0 开始编号

十六进制中的 A~F 要先转成 10~15

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示例 1：二进制 11001₂ → 十进制

$1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25$

结果：11001₂ = 25₁₀

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示例 2：八进制 352₈ → 十进制

$3×8^2 + 5×8^1 + 2×8^0 = 3×64 + 5×8 + 2×1 = 192 + 40 + 2 = 234$

结果：352₈ = 234₁₀

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示例 3：十六进制 1DF₁₆ → 十进制

（D=13, F=15）

$1×16^2 + 13×16^1 + 15×16^0 = 1×256 + 13×16 + 15×1 = 256 + 208 + 15 = 479$

结果：1DF₁₆ = 479₁₀

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3. N 进制 → M 进制（2、8、16 之间转换）

统一方法：先转十进制，再转目标进制

为什么？因为十进制是我们最熟悉的“中间桥梁”

通用公式：

$N \text{进制} \xrightarrow{\text{按权展开}} \text{十进制} \xrightarrow{\text{除M取余}} M \text{进制}$

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3.1 二进制 ↔ 八进制（特殊快捷方法）

二进制 → 八进制： 三位一组（从右向左），每组转成一个八进制数字

• 不够三位时左边补 0

示例：1100101₂ → 八进制

 分组： 001 100 101
        1   4   5

结果：145₈

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八进制 → 二进制： 每位八进制 → 3 位二进制

示例：352₈ → 二进制

 3 → 011
 5 → 101
 2 → 010

结果：011101010₂（可省略前导0 → 11101010₂）

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3.2 二进制 ↔ 十六进制（特殊快捷方法）

二进制 → 十六进制： 四位一组（从右向左），每组转成一个十六进制数字

示例：110111101011₂ → 十六进制

 分组： 1101 1110 1011
        D    E    B

结果：DEB₁₆

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十六进制 → 二进制： 每位十六进制 → 4 位二进制

示例：1DF₁₆ → 二进制

 1 → 0001
 D → 1101
 F → 1111

结果：000111011111₂（→ 111011111₂）